$(a+b)^{n}$ 二项展开式有 $n+1$ 项，$(a+b+c)^n$ 三项展开式的项数可以按二项展开式办法求出，$[(a+b)+c]^n=\rm C_n^0(a+b)^nc^0+C_n^1(a+b)^{n-1}c^1$ $+\rm C_n^2(a+b)^{n-2}c^2+\cdots+C_n^r(a+b)^{n-r}c^r+\cdots+C_n^n(a+b)^0c^n$ 其展开式的项数为

$(n+1)+n+(n-1)+\cdots+2+1=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$     那么 $(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_m)^{n}$ 展开式的项数一定是和m、n有关的组合数，由此猜测可能是 $\rm C_{n+m-1}^{m-1}$.下面设法构造出合理的数学模型来证明这个猜想.      将 ${\color{Red}a_1},{\color{Blue}a_2},{\color{orange}a_3},\cdots,{\color{Brown}a_m}$ 看成是 m 个不同颜色的小球，多项式 $({\color{Red}a_1}+{\color{Blue}a_2}+{\color{orange}a_3}+\cdots+{\color{Brown}a_m})^{n}$ 可以视为装有 m 个不用颜色小球的 n 个口袋，求展开式 $({\color{Red}a_1}+{\color{Blue}a_2}+{\color{orange}a_3}+\cdots+{\color{Brown}a_m})^{n}$ 的项数就是求从 n 个口袋中分别取出 1 个小球有多少种不同的取法？如果说取出颜色是 ${\color{Red}a_1}$ 的小球为 $x_1$ 个，取出颜色是 ${\color{Blue}a_2}$ 的小球为 $x_2$ 个，······，取出颜色是 ${\color{Brown}a_m}$ 的小球为 $x_m$ 个.显然有 ${\color{Red}a_1}+{\color{Blue}a_2}+{\color{orange}a_3}+\cdots+{\color{Brown}a_m}=n$      此时只需确定上述方程非负整数解的个数就可以.上述方程非负整数解的个数等价于方程用 m-1 个分隔符“丨”把 n 个 1 分成 m 组分组数，其中第一组有 $x_1$ 个 $1$,第二组有 $x_2$ 个 $1$,······，第 $m$ 组有 $x_m$ 个 $1$.一个分组对应着"1"与“丨”的如下形式的一个排列：

可以看出，n 个 1 和 m-1 个分隔符“丨”，共 n+m-1 个位置，从 n+m-1 个位置中任选n个位置放数字 1，其余位置放分隔符“丨”，共有 $\rm C_{n+m-1}^n=C_{n+m-1}^{m-1}$ 种放法，即多项式 $(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_m)^{n}$ 展开式共有 $\rm C_{n+m-1}^{m-1}$ 项，得证.