二次函数

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老师：刘智

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第二章代数的基本概念
#####2.10二次函数
一般地，若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成

y=ax^2+bx+c(a,b,c

为常数且

a\ne0)

的形式，则称y是x的二次函数。
二次函数

y=x^2

的图像

y=x^2

的图像特点
1.抛物线2.开口向上3.关于y轴对称4.抛物线的顶点：抛物线与对称轴的交点。
例：

y=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)

若y=0,则x=-1或x=3

y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4

当x=1时，函数取最小值-4；
直线x=1是抛物线的对称轴；
x=-1或x=3是抛物线与x轴交点的横坐标。

y=ax^2+bx+c

的图像特点
若a>0,图像开口向上
若a<0,图像开口向下

y=ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})+\frac{4ac-b^2}{4a}

当

-\frac{b}{2a}

时，函数有最值
图像的对称轴为

x=-\frac{b}{2a}

C为与y轴交点的纵坐标

若C>0,抛物线与y轴的交点在原点上方
若C<0,抛物线与y轴的交点在原点下方
当 $-\frac{b}{2a}$ 时，函数取最值 $\frac{4ac-b^2}{4a}=-\frac{\Delta}{4a}$
即，抛物线的顶点坐标（ $-\frac{b}{2a}$ ， $-\frac{\Delta}{4a}$ ）
图像与x轴的交点有：2个，1个，0个
对应一元二次方程的 $y=ax^2+bx+c$ 的根：两个不相等的实数根，两个相等的实数根，无实数根
图像与x轴交点的横坐标就是一元二次方程 $y=ax^2+bx+c$ 的根